e-olymp

Геометрія

Трикутник

Довільний трикутник

G1

Мал. 1.

Трикутник – 1) багатокутник із трьома сторонами; 2) це фігура, що складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, та трьох відрізків, які сполучають попарно ці точки. Відрізки називають сторонами трикутника, а точки – вершинами трикутника.

Бісектриса трикутника – відрізок бісектриси кута, що з'єднує вершину трикутника з точкою протилежної сторони.

 

Медіана трикутника – відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

 

Висота трикутника – перпендикуляр, проведений із вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону.

 

Якщо один з кутів прямий, то трикутник – прямокутний, якщо тупий – тупокутний, якщо всі кути гострі – гострокутний. Якщо в трикутнику дві сторони рівні, то трикутник – рівнобедрений, якщо три – рівносторонній.

Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Проти більшої сторони трикутника лежить більший кут. Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших сторін.

Площа трикутника дорівнює півдобутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

G2

Площа трикутника дорівнює півдобутку сторін на синус кута між ними:

G3

 

Площа трикутника (формула Герона) дорівнює

 

G4

, де

G5

 

 

Код Pascal

uses crt;

var a, b, c:integer;

function geron(a,b,c:integer):double;

var p:double;

begin

  p:=(a+b+c)/2;

  geron:=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));

end;

begin

  write('vvedite a-> '); readln(a);

  write('vvedite b-> '); readln(b);

  write('vvedite c-> '); readln(c);

  writeln(geron(a,b,c));

  readkey;

end.

 

 

Радіус кола, вписаного в трикутник:

G6

 

Радіус кола, описаного навколо трикутника:

G7

 

Теорема косинусів

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

 

G8

 

Дано сторони трикутника a,b,c. Обчислити косинуси кутів трикутника

 

Код Pascal

uses crt;

var a,b,c,cosa,cosb,cosc:real;

begin

clrscr;

write('введіть сторону a=');readln(a);

write('введіть сторону b=');readln(b);

write('введіть сторону c=');readln(c);

cosc:=(sqr(c)-sqr(a)-sqr(b))/(-2*a*b);

cosa:=(sqr(a)-sqr(c)-sqr(b))/(-2*c*b);

cosb:=(sqr(b)-sqr(c)-sqr(a))/(-2*c*a);

writeln('cosa=',cosa:4:4);

writeln('cosb=',cosb:4:4);

write('cosc=',cosc:4:4);

readln;

end.

 

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

G9

 

Теорема Піфагора

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів, тобто

c2=a2+ b2

 

Чотирикутник

Чотирикутник – фігура, яка складається з чотирьох точок (жодні три з них не лежать на одній прямій) і чотирьох відрізків, які з'єднують послідовно ці точки і не перетинаються.

G10

 

Паралелограм

 G11

Паралелограм – чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні. У паралелограмі протилежні сторони рівні і сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°.

 

 

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Площа паралелограма дорівнює:

1. Добутку основи на висоту:

G12

 

2. Добутку сторін на синус кута між ними:

 G13

 

Код Pascal

 uses crt;

var x,y,z:real;

begin

 writeln('Введіть висоту');

 readln(x);

 writeln('Введіть основу');

 readln(y);

  z:=x*y;

   writeln('Площа паралелограма=',z:5:2);

readkey;

end.

 

 

Прямокутник

 G14

Прямокутник – паралелограм, у якого всі кути прямі. Діагоналі прямокутника рівні.

 

Площа прямокутника дорівнює добутку його вимірів.

G15

 

Код Pascal

uses crt;

function Geron(a,b,c:real):real;

var p:real;

begin

p:=(a+b+c)/2;

Geron:=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));

end;

var a,b,d:real;

begin

clrscr;

repeat

writeln('Введите стороны и диагональ прямоугольника a,b,d');

readln(a,b,d);

until abs(a*a+b*b-d*d)<0.001;

write('Площадь=',2*Geron(a,b,d):0:2);

readln

end.

 

Ромб

G16

Ромб – паралелограм, усі сторони якого рівні. Ромб має всі властивості паралелограма. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл.

G17

 

G18

 

G19

 

Дано координати трьох вершин ромба (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Обчислити площу і периметр ромба

 

Код Pascal

uses crt;

var a,b,c,P,S,d1,d2,x1,y1,x2,y2,x3,y3: real;

BEGIN

 clrscr;

 write(' Введіть  x1 y1: ');

 readln(x1,y1);

 write(' Введіть x2 y2: ');

 readln(x2,y2);

 write(' Введіть x3 y3: ');

 readln(x3,y3);

  a:= sqrt(sqr(x1-x2)+sqr(y1-y2));

 b:= sqrt(sqr(x1-x3)+sqr(y1-y3));

 c:= sqrt(sqr(x2-x3)+sqr(y2-y3));

  if (a=b)or(a=c) then P:= 4*a

  else P:= 4*b;

  if (a=b) then

  begin

   d1:=c;

   d2:=2*sqrt(sqr(a)-sqr(d1/2));

   S:= (d1*d2)/2;

  end else

 if (b=c) then

  begin

   d1:=a;

   d2:=2*sqrt(sqr(b)-sqr(d1/2));

   S:= (d1*d2)/2;

  end else

 if (a=c) then

  begin

   d1:=b;

   d2:=2*sqrt(sqr(b)-sqr(d1/2));

   S:= (d1*d2)/2;

  end;

 writeln;

 writeln(' P = 4 * a = ',P:3:3);

 writeln(' S = 0.5 * d1 * d2 = ',S:3:3);

 readkey;

END

 

Квадрат

G20

 Квадрат – прямокутник, усі сторони якого рівні. Усі кути квадрата прямі. Діагоналі квадрата рівні, взаємно перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і ділять його кути навпіл.

G21

 

G22

 

Код Pascal

procedure Kvadrat (a, S:real);

begin

 writeln('Сторона квадрата - ', a);

 readln(a);

 S:=sqr(a);

 writeln(S:0:2);

end;

begin

 writeln('Ваша фігура ...', figura);

 readln(figura);

 if figura = Kvadrat then Kvadrat(a , S) else ...{ продовження циклу}...

end.

 

Трапеція

G23

Трапецією називається чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні, а дві другі не паралельні.

 

Паралельні сторони трапеції називаються основами. Непаралельні сторони трапеції називаються бічними сторонами.

Висотою трапеції називається віддаль між основами. Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції.

 

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ і паралельна ним. Трапеція, у якої бічні сторони рівні між собою, називається рівнобічною. У рівнобічної трапеції кути при основі рівні між собою. Трапеція, у якої хоч би один кут прямий, називається прямокутною трапецією.

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту:

G24

 

Або

 

G25.  де

 

G26

 

Код Pascal

uses crt;

var a,b,h,s:real

begin

 clrscr;

 write('A B H -> ');

 readln(a,b,h);

 s:=h*(a+b)/2;

 writeln('S=',s:0:4);

 readln;

end.

 

Коло, круг

G27

Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки – центра кола.

Радіус кола – відстань від точок кола до його центра.

Хорда – відрізок, який з'єднує будь-які дві точки кола. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром. Діаметр рівний подвоєному радіусу кола.

Дотична – пряма, яка проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку. Через будь-яку точку, що лежить поза колом і належить площині кола, можна провести дві різні дотичні.

Пряма, що має з колом дві спільні точки, називається січною.

Довжиною кола називається границя послідовності периметрів правильних багатокутників, які вписані в дане коло, при необмеженому збільшенні кількості сторін. Довжина кола  обчислюється за формулою

 A28

Або

 G29

 

Довжина дуги кола обчислюється за формулою

G30

 G31

Кругом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки не перевищує заданої. Ця точка – центр круга. Радіус – задана відстань. Радіус, хорда і діаметр кола є радіусом, хордою та діаметром відповідного кругу.

 

Площею круга називається границя послідовності площ правильних багатокутників, вписаних в дане коло, при необмеженому збільшенні кількості сторін. Площа круга обчислюється за формулою:

G32

 

G33

Сектором називається частина круга, обмежена двома його радіусами.

 G34 - центральний кут.

G35 - дуги кола.

Площа сектора з кутовою величиною дуги  обчислюється за формулою

G36

 

G37

Частина круга, обмежена хордою і стягуваною нею дугою, називається сегментом.

 

Площа сегмента обчислюється як різниця площі сектора, обмеженого радіусами OA і OB, і площі трикутника OAB.

 

G38

Кут, вписаний в коло, дорівнює половині відповідного центрального кута

 

G39

Вписані кути, що спираються на одну і ту ж хорду, рівні.

 

Вписані кути, що спираються на діаметр, прямі.

 

Приклад. Дано радіус кола. Знайти довжину кола і площу круга

 

Код Pascal

uses crt;

  var R,S: real;

begin

  writeln('Введіть радіус: ');

  read(R);

  write ('Довжина кола: ');

  writeln(2*pi*R);

  write ('Площа круга: ');

  writeln(pi*R*R);

readkey

end.

 

Многогранники

 

Многогранник

Многогранник – це геометричне тіло, поверхня якого складається із скінченого числа плоских многокутників.

Гранями многогранника називаються частини площин (многокутники), які обмежують многогранник.

Ребрами многогранника називаються спільні сторони суміжних граней (многокутників).

Вершинами многогранника називаються вершини многогранних кутів, утворених його гранями, що сходяться в одній точці.

Діагоналлю многогранника називається відрізок прямої, яка сполучає дві вершини многогранника, що не лежать в одній грані.

Діагональною площиною многогранника називається площина, що проходить через три вершини многогранника, які не лежать в одній грані.

Перерізом многогранника площиною називається частина цієї площини, яка обмежена лінією перетину поверхні многогранника з цією площиною.

Многогранник називається опуклим, якщо він цілком лежить по одну сторону від площини будь-якої його грані. Гранями опуклого многогранника можуть бути тільки опуклі многокутники.

 

Призма

G40

Висота – відрізок, що міститься між її основами і перпендикулярний до них.

Пряма призма – бічні ребра перпендикулярні до основ.

Площа бічної поверхні довільної призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу на бічне ребро:

G41

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми:

G42

Об'єм довільної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту:

g43

 

Паралелепіпед

Паралелепіпед – призма, основи якої – паралелограми. У паралелепіпеді протилежні грані паралельні і рівні; всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.

У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку периметра основи на висоту:

G44

 

Код Pascal

Var

h,l,w,s:real;

Begin

WriteLn('Обчислення площі поверхні паралелепіпеда.');

WriteLn('Введіть початкові дані:');

Write('Довжина(см)->');

ReadLn(l);

Write('Ширина(см)->');

ReadLn(w);

Write('Висота(см)->');

ReadLn(h);

s:=(l*w+l*h+w*h)*2;

Writeln('Площа поверхні: ',s:4:2,' кв.см');

ReadLn;

End.

 

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів:

G45

 

Куб

Куб – прямокутний паралелепіпед, усі ребра якого рівні.

Об'єм куба дорівнює:

G46

 

Код Pascal

Var

reb,ob:real;

Begin

WriteLn('Обчислення обєму куба');

Write('Введіть довжину ребра і натисніть ->');

ReadLn(reb);

ob:=reb*reb*reb;

WriteLn('Обєм куба',ob:4:3,'куб.см');

ReadLn;

End.

 

Діагональ куба можна знайти за формулою:

G47

 

Піраміда

 

G48

Якщо в основі піраміди лежить трикутник, вона називається тетраедром. Висота – перпендикуляр, проведений з вершини до площини основи.

Правильна піраміда – в основі лежить правильний многокутник і основа висоти збігається з його центром. Апофема – висота бічної грані правильної піраміди.

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює одній другій добутку периметра основи на апофему:

G49

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів обох основ на апофему:

G50

Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи на висоту:

G51

Об'єм довільної зрізаної піраміди дорівнює:

G52.

 

Код Pascal

var   А,B,C,H,P,S,V:real;

begin

   writeln('A, B, C, H');

   readln(A,B,C,H);

   P:=(A+B+C)/2.0;

   S:=sqrt(P*(P-A)*(P-B)*(P-C));

   V:=S*H/3.0;  

   writeln(' V = ',V:10:3);

end.

 

Вектори

 

Вектор

Вектор - це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. Під направленим відрізком  розуміють впорядковану пару точок, перша з яких - точка A - називається його початком, а друга - B - його кінцем. В геометрії розглядають вектори, що не залежать від точки прикладання (вільні вектори).

Графічно вектори зображають у вигляді направлених відрізків певної довжини АВ

 

G53

 

Чисельне значення вектора а називається модулем чи довжиною і позначається | а|.

Довжина вектора - це довжина відрізка, що зображає цей вектор.

 

Вектори називають протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені відповідні півпрямі.

 

G54

Протилежно напрямлені вектори.

 

Вектори називають співнапрямленими, якщо співнапрямлені відповідні півпрямі.

 

G55

Співнапрямлені вектори.

 

Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим. Нульовий вектор має довжину 0. Напрям нульового вектора не визначений. Нульовий вектор прийнято рахувати співнапрямленим з будь-яким вектором. Вважається, що нульовий вектор одночасно паралельний і перпендикулярний будь-якому вектору.

 

Колінеарними називаються вектори, які зображаються відрізками, що лежать на одній прямій чи на паралельних прямих.

 

Два вектора називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються.

 

Одиничний вектор (орт) - вектор, довжина якого рівна одиниці.

 

Вектори на площині

Числа

G56 та G57

 

називаються координатами вектора з початком А(х1;у1) і кінцем В(х2;у2).

 

Використовуючи означення координат вектора довжину можна записати формулою

G58

 

Дії над векторами на площині

Сумою векторів  G59 і G60  називають вектор  G61 

 

Геометрично суму двох векторів можна знайти за:

•          правилом трикутника;

•          правилом паралелограма.

 

Правило трикутника

 

Для складання двох векторів а і b за правилом трикутника обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника, що утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора.

G62

 

Правило паралелограма

 

Для складання двох векторів а і b за правилом паралелограма обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, яка виходить з їх спільного початку.

 

G63

 

Різницею векторів a іb називають такий вектор c, який в сумі з b дає a.

G64

 

Добуток вектора G65 на число G66  називається вектор G67

 

Два вектори a і b колінеарні тоді і лише тоді, коли їх відповідні координати пропорційні

G68

 

Скалярним добутком векторів a іb називається число, яке рівне сумі добутків відповідних координат, тобто

G69

 

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто

G70

де  G71 - кут між векторами.

 

Векторним добутком двох векторів a і b називається вектор c, який задовольняє таким умовам:

 

1) Довжина вектора c дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a і b, тобто

G72

 

2) Вектор c перпендикулярний до площини цього паралелограма, тобто перпендикулярний і до вектора a , і до вектора b :

G73 та G74

 

3) Вектори a, b, c, взяті у такому порядку, утворюють праву трійку векторів.

 

Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.